Introducción a la Matemática Financiera

 

Introducción a la Matemática Financiera


¿Qué Vale más: $500 Ahora ó $700 Dentro de Tres Años?

Un cliente, para saldarnos una deuda, nos está ofreciendo dos opciones: o pagarnos $500 ahora o pagarnos $700 dentro de tres años. Tenemos que determinar cuál de las dos nos conviene más. Para resolver esto tenemos que entender un punto que va a ser la médula de todas las técnicas financieras: el Time Value of Money, cómo comparar dinero recibido en distintos momentos.

Para ver cuál de las dos opciones nos conviene, vamos a analizar cuál es el poder adquisitivo ¾la capacidad de poder comprar bienes¾ que nos da cada alternativa. El problema que tenemos es que no podemos comparar dinero de hoy con dinero de dentro de tres años, porque normalmente, con el mismo dinero, se pueden comprar menos bienes en el futuro. Para resolver este problema, y poder comparar dinero recibido en años distintos ¾dineros de distinta “edad”¾, vamos a desarrollar unas fórmulas financieras.

Podemos seguir dos caminos para comparar dineros de distinta edad:

1. Calcular cuánto tendríamos al cabo de tres años si ponemos los $500 en una cuenta de ahorro[1]. Es el problema del Future Value del dinero.

2. Calcular cuánto vale ahora una promesa de recibir $700 dentro de tres años. Es el problema de Present Value del dinero.

Supongamos que elegimos recibir ahora $500 y depositarlos en una cuenta de ahorro que nos pagará el 10% anual de intereses.

Queremos saber cuánto dinero tendremos en la cuenta de ahorros al cabo de tres años. Si nos ha producido menos de $700, entonces debemos preferir la promesa de $700 mejor que los $500 ahora ¿Por qué, si los $500 son inmediatos? Lo entenderemos mejor cuando hagamos los cálculos.

Si la cuenta paga el 10% de interés anual, al cabo de un año tendremos $550, porque, además de los $500 que depositamos nosotros, el banco no pagó un 10%, es decir $10 de intereses por cada $100 de balance.

$500 + $500 x 10% = $500 + $50 = $550

La fórmula general, que nos sirve para cualquier interés y balance después de una año es:

Balance1 = Inicial + Inicial x Tasa de Interés

que si lo ponemos en una fórmula más científica sería:

FV1 = PV + PV x i

donde FV1 = Future Value, o valor en la cuenta al final del primer año

PV = Present Value, o cantidad que invertimos en la cuenta en el presente. En este caso $500

i = Tasa de interés anual

Y para que se vea más elegante, podemos sacar factor común a PV y se vería la misma fórmula de esta otra manera:

FV1 = PV(1 + i) [F-1]

¿Cuánto tendremos al final del segundo año? Tenemos que suponer que esta cuenta de ahorro paga un interés compuesto, esto significa que paga intereses sobre los intereses. Es decir, que los $50 que ganó de intereses el primer año se quedan en la cuenta, y se suman al balance. Esto implica que el segundo año, en vez de ganar el 10% de $500, ganaremos el 10% de $550.

Si ponemos esto como una fórmula sería

FV2 = FV1(1 + i)

Y si sustituimos aquí el valor de FV1 por el que nos dio la fórmula anterior, tenemos que:

FV2 = PV(1 + i)(1 + i)

FV2 = PV(1 + i)2 [F-2]

Nosotros tendremos en la cuenta al final del año 2 el siguiente balance

FV2 = $500(1+0.10)2

FV2 = $500(1.10)2 = $605

øPor quÈ se llama interÈs ìcompuestoî? Vemos que este segundo año hemos ganado $55 de intereses, porque teníamos $550 al principio de año y al final tenemos $605. El primer año los intereses generados fueron $50 ¿Por qué hemos ganado más intereses este año? ¿No sigue siendo la tasa de interés un 10%? Sí, pero este año en vez de ganar el 10% de $500, hemos ganado el 10% de $550. Es decir, hemos ganado intereses sobre los intereses acumulados. Por esto a este mecanismo se le llama interés compuesto.

¿Cuánto tendremos en la cuenta al final del año 3? Tendremos que sumarle a lo que teníamos a principio de año (FV2) los intereses que generó la cuenta durante este tercer año.

FV3 = FV2 + FV2 x i

= FV2 (1 + i)

y, si sustituimos aquí el FV2 por el valor que obtuvimos en la fórmula [F-2], nos quedaría:

FV3 = PV(1 + i)2(1 + i)

FV3 = PV(1+i)3 [F-3]

Una fÛrmula general del interÈs compuesto. Echemos ahora un vistazo a las fórmulas [F-1] [F-2] [F-3] que hemos obtenido:

FV1 = PV(1 + i)

FV2 = PV(1 + i)2

FV3 = PV(1 + i)3

Claramente observamos un patrón, que nos va a permitir construir una fórmula general que sea aplicable para encontrar el balance final de una inversión al cabo de n años:

FVn = PV(1+ i)n

[F-4]

donde: FVn = Balance final (future value) al cabo de n años del dinero colocado en una inversión que pague un i% anual

PV = La cantidad inicialmente colocada en esa inversión (present value)

i = La tasa de interés que paga esa inversión

n = el número de años que mantengamos el dinero en esa inversión.

Si aplicamos esta fórmula general a nuestro caso particular, tenemos que si invertimos $500 ahora en una cuenta que nos rinda el 10% de interés, entonces al cabo de 3 años tendremos:

FV3 = $500(1 +.10)3

= $500(1.1)3 =$500 x 1.331 =$665.50

FV3 = $665.50

Concluimos de aquí que vale más una promesa de recibir $700 dentro de tres años que una promesa de recibir ahora $500.

Y con esto alcanzamos nuestro objetivo real que era aprender a calcular el valor futuro de una cantidad de dinero.

¿Cuánto Vale Ahora la Promesa de Recibir $700 dentro de Tres Años? El Valor Presente del Dinero

Veamos ahora el otro camino que existe para comparar dinero de distintas “edades”. Consiste en calcular cuánto vale ahora una promesa de recibir $700 dentro de tres años y comparar ese valor con el de una promesa de recibir $500 ahora.

øQuÈ es el Valor Presente? Para determinar cuánto valen ahora $700 a recibirse en tres años, el primer paso es el más difícil. Consiste en entender que ese valor es la cantidad de dinero X que, invertida ahora¾puesta en una cuenta de ahorro¾, nos valdrá $700 dentro de tres años. Si encontramos esa cantidad X, entonces nos será indiferente recibir ahora X o recibir $700 dentro de tres años, porque al final podremos comprar las mismas cosas. Y, si nos es indiferente recibir X ahora o $700 dentro de tres años entonces esto quiere decir que el valor ahora de $700 en tres años es precisamente X.

Tenemos, por tanto que encontrar qué cantidad invertida ahora en una cuenta de ahorro va a tener un Future Value de $700.

La ConsideraciÛn del Riesgo. Decimos que invertimos en una cuenta de ahorro, pero realmente puede ser en cualquier inversión. Lo importante es que tenga el mismo riesgo que tienen los $700. Es decir, que estemos igual de seguros de que vamos a recibir los $700 de lo que estamos que vamos a recuperar el dinero invertido y los intereses de esa inversión. Esta consideración que hacemos del riesgo, aunque ahora no tendrá consecuencias prácticas (porque los ejercicios de libro siempre nos dicen que tasa tenemos que usar) en la realidad es de extrema importancia.

La fÛrmula de Valor Presente. Dijimos en el apartado del Valor Futuro, que existe una cuenta de ahorro, con el mismo riesgo que esa promesa de $700, que paga un 10% anual. Nuestro problema ahora se reduce a encontrar qué cantidad tendremos que poner hoy en esa cuenta para que, al cabo de tres años, ahí tengamos $700.

Para encontrar ese dato, debemos apoyarnos en la fórmula [F-4] del Valor Futuro o balance final de una inversión:

FVn = PV(1+ i)n

En este caso tenemos que interpretarla al revés. Conocemos el Valor Futuro (FVn) que es $700, y queremos encontrar la Inversión Inicial o Valor Presente. O sea, que tendríamos que resolver X esta ecuación

$700 = X(1 + 0.10)3

Despejando la X:

Ese resultado quiere decir que si invertimos $525.92 hoy, en una inversión que rinda el 10% de interés, al cabo de tres años tendremos exactamente $700. Por lo tanto, para nosotros tiene el mismo valor recibir $700 dentro de tres años que recibir $525.92 hoy. Esto significa que para nosotros[2], el valor presente de los $700 es $525.92.

Podemos ahora sacar una fórmula general que nos dé el Valor Presente de una cantidad de dinero recibida en un futuro:

[F-5]

donde: PV = es el Valor Presente ¾en el día de hoy¾ de una cantidad de dinero FV que se va a recibir al final de n años.

FV = es la cantidad de dinero que se espera recibir en el futuro, dentro de n años

i = es la Tasa de Descuento: la tasa de interés que rendiría una inversión del mismo riesgo que tiene la expectativa de recibir FV en el futuro.

QuÈ es mejor los $500 Û los $700. Con esto hemos resuelto, por el otro camino, la cuestión de qué vale más $500 ahora ó $700 en tres años. Vemos que, efectivamente, valen más los $700, ya que al presente, esa cantidad equivale a $525.92, frente a la alternativa de recibir ahora $500.

Pero lo más importante es que hemos aprendido a calcular el Valor Presente de dinero futuro o, como se dice en el argot, a mover el dinero en el tiempo.

Esta fórmula del Valor Presente suele ser la preferida de los financieros, porque el resultado nos lo da en dólares de hoy, que podemos entender mejor que dólares de dentro de tres años.

citation:

LECTURA # 64

Autor: Roberto López Rivera

Fecha: Agosto 1996


[1] La inversión que escojamos para colocar el dinero tiene que ser una que tenga el mismo riesgo que tienen los $700. Es decir, que tengamos la misma seguridad en esa cuenta de ahorro que tenemos en la promesa de recibir $700 en tres años. Si la cuenta de ahorro fuera más confiable que la promesa de los $700, la comparación que vamos a hacer no serviría como está formulada. No serviría porque, aunque la cuenta nos rinda en tres años sólo $665, posiblemente sea preferible esta alternativa. ¿Por qué puede ser mejor recibir $665 que $700? Porque la mayor seguridad que tienen los $665 tiene también un valor económico que si lo sumamos a esa cantidad es posible que nos dé un número mayor que $700.

En la práctica es difícil calcular el valor en dólares que tiene la seguridad. Por eso lo más práctico es escoger dos inversiones que tengan el mismo riesgo.

[2] El Valor Presente realmente depende de cada persona porque, como veremos más adelante, depende de las alternativas de inversión que tenga cada individuo. Veremos cómo si una persona no tiene dónde invertir el dinero, entonces le daría igual recibir $700 hoy que dentro de tres años.

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